Hjem / videnskab / matematik / Hvordan man løser differentialligninger lineære ligninger

Hvordan man løser differentialligninger lineære ligninger

/
71 visninger

Hvordan man løser differentialligninger lineære ligninger</a>

Differentialligningen hvor ukendt funktion og dets derivat indbefatter lineære, det vil sige den første grad, kaldet en lineær differentialligning af første orden.

instruktion

    1

Et generelt billede af en første ordens lineær differentialligning er:

y? + P (x) * y = f (x),

hvor y - ukendt funktion, og p (x) og f (x) -nogle specificerede funktioner. De anses for at være kontinuerlig i det område, hvor du vil integrere ligningen. Især kan de være konstanter.

    2

Hvis f (x)? 0, så ligningen kaldes odnorodnym- hvis ikke - derefter henholdsvis inhomogen.

    3

Den lineære homogene ligning kan løses ved separation af de variable. Dens generelle form: y? + P (x) * y = 0, derfor:

dy / dx = -p (x) * y, hvilket indebærer, at dy / y = -p (x) dx.

    4

Integration begge sider af den resulterende ligning, får vi:

? (Dy / y) = -? P (x) dx, dvs. ln (y) = -? P (x) dx + ln (C) eller y = C * e ^ (-? P (x) dx) ).

    5

Opløsning af den inhomogene lineære ligning kan væretrække sig tilbage fra opløsningerne af tilhørende homogene, dvs. den samme ligning med den højre side af den droppede f (x). For at gøre dette, erstatte konstanten C i opløsning af den homogene ligning ukendt funktion? (X). Derefter blev opløsningen af ​​den inhomogene ligning vil blive præsenteret i form af:

? Y = (x) * e ^ (-? P (x) dx)).

    6

Differentiering dette udtryk, ser vi, at den afledte af y er:

y? = ?? (x) * e ^ (-? P (x) dx) -? (X) * p (x) * e ^ (-? P (x) dx).

Substitution udtrykkene for y og y? ind i den oprindelige ligning og forenkle opnået nemt komme til det resultat:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

    7

Efter at integrere begge sider af det bliver slags:

? (X) =? (F (x) * e ^ (? P (x) dx)) dx + C1.

Således er ukendt funktion y udtrykkes som:

y = e ^ (-? p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

    8

Hvis vi sidestille konstanten C til nul, så udtrykket for y kan opnå en særlig opløsning af den givne ligning:

y1 = (e ^ (-? p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Derefter kan en komplet løsning udtrykkes som:

y = y1 + C * e ^ (-? p (x) dx)).

    9

Med andre ord, en komplet opløsning af den lineæreinhomogen differentialligning af første orden er lig med summen af ​​dens særlige opløsning, og den generelle løsning til den tilhørende homogene lineære ligning af første orden.

Hvordan man løser differentialligninger lineære ligninger Det var sidst ændret: Juni 21, 2017 af vashuorm
Det er vigtigste indre beholder sidefodstekst